Achilles và con rùa

Trong một cuộc chạy đua, người chạy nhanh nhất không bao giờ có thể bắt kịp được kẻ chậm nhất. Kể từ khi xuất phát, người đuổi theo trước hết phải đến được điểm mà kẻ bị đuổi bắt đầu chạy. Do đó, kẻ chạy chậm hơn luôn dẫn đầu. – theo lời ghi lại của Aristotle, Vật lý VI:9, 239b15

Trong nghịch lý Achilles và rùa, Achilles chạy đua với rùa. Ví dụ Achilles chấp rùa một đoạn 100 mét. Nếu chúng ta giả sử rằng mỗi tay đua đều bắt đầu chạy với một tốc độ không đổi (Achilles chạy rất nhanh và rùa rất chậm), thì sau một thời gian hữu hạn, Achilles sẽ chạy được 100 mét, tức anh ta đã đến được điểm xuất phát của con rùa. Nhưng trong thời gian này, con rùa cũng đã chạy được một quãng đường ngắn, ví dụ 10 mét. Sau đó Achilles lại tốn một khoảng thời gian nữa để chạy đến điểm cách 10 mét ấy, mà trong thời gian đó thì con rùa lại tiến xa hơn một chút nữa, và cứ như thế mãi. Vì vậy, bất cứ khi nào Achilles đến một vị trí mà con rùa đã đến, thì con rùa lại cách đó một đoạn. Bởi vì số lượng các điểm Achilles phải đến được mà con rùa đã đi qua là vô hạn, do đó anh ta không bao giờ có thể bắt kịp được con rùa.[11][12]

Nghịch lý lưỡng phân

Một chuyển động phải đến được vị trí nửa quãng đường trước khi đến được đích.– theo lời ghi lại của Aristotle, Vật lý VI:9, 239b10

Giả sử Homer muốn bắt một chiếc xe buýt đang dừng ở đó. Trước khi ông đến được vị trí chiếc xe buýt thì ông phải đến được trung điểm của khoảng cách giữa ông và chiếc xe buýt. Mà trước khi ông đến được trung điểm ấy, thì ông phải đến được điểm 1/4 khoảng cách. Mà trước khi đến được điểm 1/4 ấy ông phải đến được điểm 1/8. Trước điểm 1/8 là 1/16. Và cứ thế.

H − B 8 − B 4 − − − B 2 − − − − − − − B {\displaystyle H-{\frac {B}{8}}-{\frac {B}{4}}---{\frac {B}{2}}-------B}

Trình tự kết quả có thể được biểu diễn là:

Để mô tả chuyển động này cần phải thực hiện vô hạn các bước, mà Zeno xác nhận rằng điều đó là bất khả thi.

Trình tự này cũng đưa ra một vấn đề thứ 2, đó là thậm chí còn không có quãng đường đầu tiên để di chuyển, vì bất kỳ quãng đường đầu tiên (hữu hạn) khả dĩ nào thì đều có thể được chia thành một nửa, và vì thế không thể là quãng đường đầu tiên được. Do đó, sự di chuyển thậm chí không thể bắt đầu. Kết luận của nghịch lý này là sự chuyển động từ điểm này đến điểm khác cách nhau 1 khoảng cách hữu hạn không thể hoàn thành được và cũng không thể bắt đầu được, do đó, mọi chuyển động phải là một ảo giác. Hoặc ta có thể nói các khoảng cách là vô hạn, chúng ta chuyển động mãi mà không thể đến được đích. Điều chúng ta thấy và cảm nhận trên thực tế chỉ là ảo giác nói cách khác ánh sáng mà chúng ta thấy có thể bị bẻ cong và cảm giác của chúng ta có thể do lực hút hoặc đẩy giữa các phần tử khi chúng quá gần nhau.

Lập luận này được gọi là sự lưỡng phân (Dichotomy) bởi vì nó liên tục lặp lại việc chia nhỏ một quãng đường thành hai phần. Nghịch lý này chứa một số yếu tố giống như nghịch lý Achilles và rùa, nhưng kết luận rõ ràng hơn về sự bất động. Nó còn được gọi là nghịch lý đường đua. Một số người và cả Aristotles cho rằng nghịch lý lưỡng phân này thật ra cũng chỉ là một phiên bản khác của Achilles và rùa.[13]

Nghịch lý mũi tên

Nếu tất cả mọi thứ đều chiếm 1 khoảng không gian khi nó đứng yên, và nếu khi nó chuyển động thì nó cũng chiếm một khoảng không gian như thế tại bất cứ thời điểm nào, do đó mũi tên đang bay là bất động.[14] – theo lời ghi lại của Aristotle, Vật lý VI:9, 239b5

Trong nghịch lý mũi tên, Zeno nói rõ rằng để chuyển động xảy ra, thì đối tượng phải thay đổi vị trí mà nó chiếm giữ. Ông đã đưa ra ví dụ về một mũi tên đang bay. Ông lập luận rằng trong bất kỳ một khoảnh khắc (thời điểm) nào đó thì mũi tên không di chuyển đến vùng không gian nó đang chiếm, và cũng không di chuyển đến vùng không gian mà nó không chiếm.[15] Nó không thể đang di chuyển đến nơi mà nó không chiếm, bởi vì thời gian không trôi để nó di chuyển đến đó, nó cũng không thể đang di chuyển đến nơi nó đang chiếm, bởi vì nó đã đứng đó rồi. Nói một cách khác thì tại mỗi khoảnh khắc của thời gian, không có chuyển động xảy ra. Nếu mọi vật đều bất động trong mỗi khoảnh khắc, và thời gian hoàn toàn là bao gồm các khoảnh khắc, thì chuyển động là không thể xảy ra.

Hai nghịch lý trên là sự phân chia không gian, thì nghịch lý này Zeno phân chia thời gian, nhưng không phải thành các phân đoạn, mà thành các điểm.[16]